Главное меню

Вход на сайт

Кто на сайте?

Сейчас один гость и ни одного зарегистрированного пользователя на сайте

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы Image
в задаче:

 А  В  t0
 tf
 x0  xf
 |u| 
ImageImage  0
 2 ImageImage <1


Решение

Формулируем задачу по исходным данным:
Image

Image
Составим функцию Гамильтона
Image
Уравнение Эйлера-Лагранжа имеет вид
Image                                         

Image

Image                            
Поскольку х1(1) – подвижна, то используем условие трансверсальности: Image Но из (5) видно, что ψ1 = С1 = 2. Тогда из (7) видно, что ψ3 = t2+C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень ψ3 = 0 и порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует
Image, а следовательно
Image
тогда, поскольку ψ3 меняет знак дважды, (пусть в t1 и t2) можем записать
Image                                                                 
Подставим u(t) в (3) и получим, проинтегрировав
Image

Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим:
Image       
Подставим (4) в (2) и проинтегрируем. Получим:
Image
Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:
Image

Image

Image
t1=0, t2=1. Значит парабола пересекает ось в точке 1 на интервале [0,2]
   
Получаем:
Image

Image

Image

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте