Главное меню

Вход на сайт

Кто на сайте?

Сейчас один гость и ни одного зарегистрированного пользователя на сайте

Является ли отношение, заданное на вершинах единичного куба в Rn как aRb, если в координатах вершины a не больше единиц, чем в координатах вершины b, отношением частичного порядка?

Решение

Отношение R является отношением частичного порядка, если оно:
-  рефлексивно, т.е. aRa;
-  антисиметрично, т.е. Image;
-  транзитивно, т.е. Image.
Для иллюстрации возьмём трёхмерный единичный куб с проставленными координатами вершин.

Image

Тогда, очевидно, для куба в пространстве Rn  вершину определяются набором из  n символов Image. В n-мерном кубе всего К=2n  вершин. На множестве вершин введём функцию Image, равную числу единиц в её n-наборе. Очевидно, что 0 ≤ N(Aj) ≤ n. Тогда отношение R можно определить как Image.     
Проверяем свойства:
-    рефлексивность: AiRAj достаточно очевидно, что этим свойством R обладает, т.к.
Image ;
- антисимметричность: Image Однако соотношение
Image  возможно не только при Ai = Aj (рисунок);
- транзитивность:  Image? Действительно, если
Image
Таким образом, отношение не  является отношением частичного порядка, так как оно не является антисимметричным.

У Вас недостаточно прав для добавления комментариев.
Вам необходимо зарегистрироваться на сайте