Рассмотрите экономику с двумя группами потребителей. Потребители первой группы потребляют в соответствии с кейнсианской функцией потребления: c_1t=by_1t, где y_1t - доход потребителей 1-ой группы в период t, а b - предельная склонность к потреблению (0<b<1). Будем считать, что доход потребителей 1-ой группы составляет λ в общем доходе: y_1t=λy_t. Потребители второй группы выбирают потребление в соответствии с теорией перманентного дохода из решения задачи максимизации ожидаемой полезности:



где ρ - дисконт времени, E_t- ожидания, сформированные в момент t.

а) Полагая, что ρ=r и функция полезности квадратичная
 ,
найдите оптимальное потребление для второй группы.
б) Пусть динамика совокупного дохода задана как ,

где ε_t -ошибка, причем Eε_t=0 и ошибки независимы.
Пусть совокупное потребление равно: c_t=c_t1+c_t2. Каково соотношение между дисперсией Δc_t и дисперсией Δy_t?
в) Предположим, что в реальности мы наблюдаем, что дисперсия Δc_t меньше, чем дисперсия Δy_t. Принимая во внимание вывод о соотношении этих дисперсий, полученный в пункте (б), может ли мы из этого эмпирического наблюдения сделать вывод, что большинство людей ведет себя в соответствии с теорией перманентного дохода, то есть λ=0?
г) Полагая, дисперсия Δc_t меньше, чем дисперсия Δy_t, какой вывод мы можем сделать относительно влияния временного снижения налогов на совокупное потребление?

Решение

а) Обозначим множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению через μ  и выпишем условия первого порядка для задачи максимизации ожидаемой полезности:





Поделив эти условия, получим:



Полагая, что ρ=r, получим:


 
В силу квадратичности функции полезности имеем:



откуда получаем
 


Подставляем в бюджетное ограничение



откуда находим потребление второй группы в период t:



Итак, потребители второй группы в каждый период будут потреблять фиксированную долю r/(1+r) своего жизненного дохода.

б) Поскольку y_t = y_t-1+ε_t, причем
,
то

и по аналогии можно показать, что
.

Найдем изменение потребления для каждой группы.

;



Итак, изменение совокупного потребления равно:

.

Найдем дисперсию изменения потребления:

,

поскольку b<1  и мы предполагали, что λ>0.

в) Если мы наблюдаем, что
,
то это означает, что λ>0. Действительно, если бы λ=0, то согласно рассмотренной модели
,
но это противоречит нашим наблюдениям, следовательно λ>0, то есть в рассматриваемой экономике мы имеем, как потребителей, испытывающих ограничение ликвидности и потому имеющих кейнсианскую функцию потребления, так и тех, кто ведет себя согласно теории перманентного дохода.

г) Рассмотрим временное снижение паушального налога на величину ΔT. Для потребителей первой группы имеем:
.
Для потребителей второй группы:
,
однако, совокупное потребление все же изменится:
.