- Подробности
- Автор: Super User
- Категория: Макроэкономика
- Просмотров: 6408
Рассмотрите экономику с двумя группами потребителей. Потребители первой группы потребляют в соответствии с кейнсианской функцией потребления: c1t=by1t, где y1t - доход потребителей 1-ой группы в период t, а b - предельная склонность к потреблению (0<b<1). Будем считать, что доход потребителей 1-ой группы составляет λ в общем доходе: y1t=λyt. Потребители второй группы выбирают потребление в соответствии с теорией перманентного дохода из решения задачи максимизации ожидаемой полезности:

где ρ - дисконт времени, Et- ожидания, сформированные в момент t.
а) Полагая, что ρ=r и функция полезности квадратичная
,
найдите оптимальное потребление для второй группы.
б) Пусть динамика совокупного дохода задана как
,
где εt -ошибка, причем Eεt=0 и ошибки независимы.
Пусть совокупное потребление равно: ct=ct1+ct2. Каково соотношение между дисперсией Δct и дисперсией Δyt?
в) Предположим, что в реальности мы наблюдаем, что дисперсия Δct меньше, чем дисперсия Δyt. Принимая во внимание вывод о соотношении этих дисперсий, полученный в пункте (б), может ли мы из этого эмпирического наблюдения сделать вывод, что большинство людей ведет себя в соответствии с теорией перманентного дохода, то есть λ=0?
г) Полагая, дисперсия Δct меньше, чем дисперсия Δyt, какой вывод мы можем сделать относительно влияния временного снижения налогов на совокупное потребление?
Решение
а) Обозначим множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению через μ и выпишем условия первого порядка для задачи максимизации ожидаемой полезности:


Поделив эти условия, получим:

Полагая, что ρ=r, получим:

В силу квадратичности функции полезности имеем:

откуда получаем

Подставляем в бюджетное ограничение

откуда находим потребление второй группы в период t:

Итак, потребители второй группы в каждый период будут потреблять фиксированную долю r/(1+r) своего жизненного дохода.
б) Поскольку yt = yt-1+εt, причем
,
то

и по аналогии можно показать, что
.
Найдем изменение потребления для каждой группы.
;

Итак, изменение совокупного потребления равно:
.
Найдем дисперсию изменения потребления:
,
поскольку b<1 и мы предполагали, что λ>0.
в) Если мы наблюдаем, что
,
то это означает, что λ>0. Действительно, если бы λ=0, то согласно рассмотренной модели
,
но это противоречит нашим наблюдениям, следовательно λ>0, то есть в рассматриваемой экономике мы имеем, как потребителей, испытывающих ограничение ликвидности и потому имеющих кейнсианскую функцию потребления, так и тех, кто ведет себя согласно теории перманентного дохода.
г) Рассмотрим временное снижение паушального налога на величину ΔT. Для потребителей первой группы имеем:
.
Для потребителей второй группы:
,
однако, совокупное потребление все же изменится:
.

где ρ - дисконт времени, Et- ожидания, сформированные в момент t.
а) Полагая, что ρ=r и функция полезности квадратичная

найдите оптимальное потребление для второй группы.
б) Пусть динамика совокупного дохода задана как

где εt -ошибка, причем Eεt=0 и ошибки независимы.
Пусть совокупное потребление равно: ct=ct1+ct2. Каково соотношение между дисперсией Δct и дисперсией Δyt?
в) Предположим, что в реальности мы наблюдаем, что дисперсия Δct меньше, чем дисперсия Δyt. Принимая во внимание вывод о соотношении этих дисперсий, полученный в пункте (б), может ли мы из этого эмпирического наблюдения сделать вывод, что большинство людей ведет себя в соответствии с теорией перманентного дохода, то есть λ=0?
г) Полагая, дисперсия Δct меньше, чем дисперсия Δyt, какой вывод мы можем сделать относительно влияния временного снижения налогов на совокупное потребление?
Решение
а) Обозначим множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению через μ и выпишем условия первого порядка для задачи максимизации ожидаемой полезности:


Поделив эти условия, получим:

Полагая, что ρ=r, получим:

В силу квадратичности функции полезности имеем:

откуда получаем

Подставляем в бюджетное ограничение

откуда находим потребление второй группы в период t:

Итак, потребители второй группы в каждый период будут потреблять фиксированную долю r/(1+r) своего жизненного дохода.
б) Поскольку yt = yt-1+εt, причем

то

и по аналогии можно показать, что

Найдем изменение потребления для каждой группы.


Итак, изменение совокупного потребления равно:

Найдем дисперсию изменения потребления:

поскольку b<1 и мы предполагали, что λ>0.
в) Если мы наблюдаем, что

то это означает, что λ>0. Действительно, если бы λ=0, то согласно рассмотренной модели

но это противоречит нашим наблюдениям, следовательно λ>0, то есть в рассматриваемой экономике мы имеем, как потребителей, испытывающих ограничение ликвидности и потому имеющих кейнсианскую функцию потребления, так и тех, кто ведет себя согласно теории перманентного дохода.
г) Рассмотрим временное снижение паушального налога на величину ΔT. Для потребителей первой группы имеем:

Для потребителей второй группы:

однако, совокупное потребление все же изменится:
